Álgebra lineal Ejemplos

2 x + 5 y - z = 2

$2 x + 5 y - z = 2$

3 x + 8 y + z = 4

$3 x + 8 y + z = 4$

Paso 1

Escribe el sistema como una matriz.

[\begin{matrix} 2 & 5 & - 1 & 2 3 & 8 & 1 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 5 & - 1 & 2 \\ 3 & 8 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiplica cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en

1, 1

$1, 1$ sea

1

$1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para hacer que la entrada en

1, 1

$1, 1$ sea

1

$1$ .

[\begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{5}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} 3 & 8 & 1 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{5}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} \\ 3 & 8 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 8 & 1 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 8 & 1 & 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 8 & 1 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 8 & 1 & 4 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en

2, 1

$2, 1$ sea

0

$0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ para hacer que la entrada en

2, 1

$2, 1$ sea

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 - 3 \cdot 1 & 8 - 3 (\frac{5}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 4 - 3 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 8 - 3 (\frac{5}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 4 - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 1 \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 1 \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

2

$2$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

2

$2$ para hacer que la entrada en

2, 2

$2, 2$ sea

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & 1 & 5 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & 1 & 5 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \end{array}]$

Paso 2.4

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - \frac{5}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{2} R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

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Paso 2.4.1

Realiza la operación de fila

R_{1} = R_{1} - \frac{5}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{5}{2} R_{2}$ para hacer que la entrada en

1, 2

$1, 2$ sea

0

$0$ .

[\begin{matrix} 1 - \frac{5}{2} \cdot 0 & \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{5}{2} \cdot 2 0 & 1 & 5 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5}{2} \cdot 0 & \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{5}{2} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & 0 & - 13 & - 4 0 & 1 & 5 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 13 & - 4 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 0 & - 13 & - 4 0 & 1 & 5 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 13 & - 4 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 0 & - 13 & - 4 0 & 1 & 5 & 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 13 & - 4 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar la solución final en el sistema de ecuaciones.

x - 13 z = - 4

$x - 13 z = - 4$

y + 5 z = 2

$y + 5 z = 2$

Paso 4

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

(- 4 + 13 z, 2 - 5 z, z)

$(- 4 + 13 z, 2 - 5 z, z)$